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  • 数学微专题教学的特征、策略及方法的思考
    文章来源:admin  点击数:209  时间:2017-09-11 15:06:05

    数学微专题教学的特征、策略及方法的思考

    李宽珍

    (江苏省溧水高级中学 江苏南京   211200)

    作者信息:李宽珍(1980—):高级教师,区学科带头人,近几年,发表文章40多篇.3篇被人大复印资料转载,主持一个省级规划课题,三个市级规划课题。

    摘要:数学微专题教学以一个研究主题为中心,从“最原始”的概念处开始,逐步深入到需要解决的问题.在运用微专题教学时采取以误为鉴,整合知识,凸显思想的教学策略,充分使用教学资源,通过深挖掘“生长点”、问题串“连成线”、寻思路“织成面”等教学方法创造性地教学,优化教学过程.

    关键词:微专题;教学特征;教学策略;教学方法

    实行新课改以来,一线教师为了改变以往的低效教学,不断尝试新的教学方法.近几年,微专题教学在各个学校盛行,普遍做法是将学习中的重点、难点,进行同类堆积,集中讲解,以期能够提升这类试题的得分率.殊不知这样只会让学生产生严重的挫败感,且这类试题脱离了学生的“最近发展区”,学生对这类试题的参与积极性不高,从而造成很多试题一带而过,学生似是而非,效果大打折扣.微专题的质量直接影响着学生的教学效果,因此对微专题的选择要慎重,要结合学生的实际情况,逐步提升.

    一、微专题教学的界定与特征

    (一) 微专题教学

    微专题教学是以某个知识点或数学思想方法等一个研究主题为中心,退到该知识的“最原始”概念、定义处学习,再通过一条清晰的主线串起这些问题,循序渐进,逐步深入到需要解决的问题.其涵盖内容适量,适合各个不同层次的学生参与整个教学活动,让学生在获取知识的同时提升能力.

    (二) 微专题教学的特征

    1.灵活.首先是内容的灵活,它可以不受当前所涉章节内容或形式的制约,它可以不追求完整,而意在能力.可以根据学生的实际,及其可接受的程度确定,因此微专题的来源既可以是学生的推荐,也可以由教师编拟.其次是时间的灵活.它没有规定的时间,只有探究的深入.例如可以在高三第二、三轮复习中可以适当穿插进行此类微专题教学.

    2.实用.要针对学生的疑难点,切实帮助学生解决实际问题,在选题时切忌大而空.在复习教学时,可以借助学生问题设计问题情境,唤醒旧知识,引导学生主动建立复习目标.教师可以采用变式训练、题组策略或问题串设计来编制微专题.在微专题的教学中,通过设置典型例题——变式、问题串设计或题组设计——真题训练的程序来完成微专题教学.其中,典型例题提炼学生的问题所在,变式、问题串或题组设计则可以将学生问题退到最简单、最本质的地方,通过变换问题背景,逐步深入到问题的核心;而最后的真题训练,则是检验所学知识的应用过程.

    3.有效.让学生从“知识——方法——思想”的角度去审视问题.微专题教学要对已学过的知识重组和整合,优化已有的知识结构网,从各个不同方面联系所学知识,形成横向、纵向的知识网,只有这样进行深加工,才能在解决问题时举一反三,游刃有余.

    二、微专题的教学策略

    微专题教学强调教学思维和教学习惯的差异,在传统教学中穿插微专题教学,可以充分使用教学资源,采取以误为鉴,整合知识,凸显思想的教学策略来创造性地教学,优化教学过程.

    (一) 以误为鉴策略

    数学学科中好多知识重点,经常也是难点,也是学生在考试中出错频率较高的.通常的做法是“常讲,常做,常错”,究其原因,是学生没有真正理解.教学中可以以这些错误为基础,抓住重难点、精设专题,帮助学生建构良好的认知结构,关注认知障碍,挖掘错误背后的“知识漏洞”和“思维缺陷”,大大提高复习的针对性.例如,换元法的灵活运用一直是学生的难点,对这些内容就可以“以误为鉴”,设置换元法的微专题,将教材中涉及换元法的内容串联起来.这就要求教师平时注意积累素材,善于发现提炼问题,基于学生学情的微专题教学一定达到事半功倍的效果.

    (二)整合知识策略

    设置微专题,目的是找到一条主线把一些散落的知识点按照其内在的逻辑联系将其系统地串联起来,这样做有助于学生学习技能的提高,通过教师的引导和挖掘,使学生的知识整体化.另外,对于同一个微专题,由于学生有不同的思维方式,思考的角度和深度不同,因此往往得到的结论也会有不一样,所以微专题的复习允许结论丰富、过程开放、思维多样.教学中,教师可以跨越章节界限,对学生学过的知识进行整合、串讲,将散乱的知识串联,达到知识的融会贯通.

    (三)凸显思想策略

    数学思想方法是对数学内容和数学方法的本质提炼,是具有相对稳定的特征,是对数学规律的理性认识.在教学中通过微专题的设置,渗透相应的数学思想.例如,为了提高学生的运算能力,可以设置运算为主题的微专题,其渗透了数与运算思想,增强学生优化运算的意识和提高运算的能力.在微专题教学过程中,教师起到的只是示范和引导作用,通过教师的引导,有效地组织教学和复习,引导学生思维,让学生自主构建成属于自己的知识网络.

    三、微专题教学方法

    微专题教学作为一种新型的教学设计理念,应该有相应的教学方法,进而更好的实现教学目标.

      (一)深挖掘“生长点”

    微专题教学体现知识的整合和联系,探寻其本源,挖掘“生长点”,由其能主动地与别的知识点连接,揭示所学知识的背景.如倒序相加的思想,在教材的向量部分就已经渗透,在学习等差数列求和和二项式定理时得到巩固.例如,2016年南京市一模考试第17题,学生解答的并不理想,其实这道题的“生长点”在教材中.

    案例1 (2016年南京一模考试题17) 如图所示,AB是两个垃圾中转站,BA的正东方向16千米处,直线AB的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾,政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(ABP可看成三个点):垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大).现估测得AB两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?

    此题关键先提炼有用的数学知识,转化为数学模型:

    模型一:三角形模型

    由于微专题的教学特点,可以设计串“珠”成“链”的问题串来阐述知识的来源于运用,例如,笔者以《直线与抛物线相切问题的探究与归纳》为例,阐述如何利用问题串展开微专题研究.

    案例2  如图,设抛物线方程为,为直线上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为.

    求证:三点的横坐标成等差数列.

    分析:利用求导写出MA,MB的直线方程,再根据点在曲线上可得结论.

    4

    (限于篇幅,具体解答略,下同)

    变式1:设抛物线方程为,为抛物线外任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为.设A(x1,y1).试过A的切线方程(用x1,y1表示).

    师:你能得到一般的结论吗?在老师的提示下学生得:

    结论1: 是抛物线上一点,过P点作抛物线的切线,则切线方程为.

    类比圆:是圆上一点,过P点作抛物线的切线,则切线方程为.

    变式2:设抛物线方程为, M(x0,y0)为外任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为.问: 三点的横坐标是否仍成等差数列?

    变式3:设抛物线方程为, M(x0,y0)为外任意一点,过引抛物线的切线,切点分别为.求过A,B两点的直线方程.

    结论2: 是抛物线上一点,过P点作抛物线的两条切线,切点分别为则直线AB的方程为.

    类比圆:是圆上一点,过P点作圆的两条切线,切点分别为则直线AB的方程为:.

    事实上,在此例题的基础上还可以引申出好多变式,充分挖掘出抛物线与其切线的内在联系.比如:

    变式4:设抛物线方程为,若是抛物线准线上任意一点,焦点为F,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.问:A,B,F三点是否共线?

    我们从一道例题出发,从特殊到一般,得到了切线公式和切点弦公式,再深入研究过抛物线外一点抛物线的切线问题,渗透数形结合思想,大胆猜想,进一步探究切线与相交弦之间的关系,加深对抛物线应用的理解.这样的“微专题“的复习,有机地穿插在新旧知识之间,以小见大,改变了以往复习课的枯燥、乏味、低效,把学生引入到主动复习和探究,在解题的探索过程中,培养了学生的发现能力,探究能力,钻研能力.

    (三)寻思路“织成面”

    如何找微专题主题?可以通过“主线”寻找知识的来龙去脉.如,最值问题近几年一直受到关注,但其要求高,综合性强,学生经常感到困惑,原因即为学生不能等价转化最值问题.那我们就可以循着这条主线,找到解决最值问题的捷径.通过构建不同的模型,找到最值问题的解题策略.

    案例3 构建模型 寻找最值问题的解题策略

    1.构建函数模型,找到最值问题的解题策略

    函数是高中数学的核心内容.最值问题如果可以通过消元、换元等方式将多变量最值问题化归为单变量问题,构建函数模型,利用函数的性质突破最值问题的障碍.

    1. 已知函数,若存在,当时,,则 的最小值为        

    分析:,得到关于的二次函数,结合的取值范围求出最值.

    (限于篇幅,解答略,下同)

    借助函数模型,结合函数性质求解是解决最值问题的常用手段之一.对于多变量最值问题可以通过消元、换元化归为单变量函数,或采用主元策略构建函数模型处理.

    2.发现不等式模型,寻求最值问题的解题策略

    基本不等式是高中数学的重要模型,最值问题如果能运用基本不等式这一数学模型求解往往可以减小运算量,快速求解.

    题2  若,且,则的最小值为________

    分析:令,则,出现不等式模型.

    最值问题运用不等式模型求解,往往需要具备整体的意识,配凑出不等式模型.

    3.挖掘三角模型,探究最值问题的解题策略

    三角函数是高中数学中的重点,不少最值问题中蕴含着三角知识,我们通过构建三角模型,将最值问题化归成三角问题求解.

    3.已知正实数满足,则的最大值为          

    分析:结构联想到,又为正实数,若令,构建三角形,则有,再化归解三角形问题处理.当然此题也可以配方,用三角换元处理.

    最值问题中,如果能灵活运用三角模型,通过三角代换、构建三角形等方式,将陌生问题熟悉化,快速发现问题的切入点,从而找到最值问题的解题策略.

    4.构建向量模型,探寻最值问题的解题策略

    我们知道,向量是高中数学解题的有效工具,不少最值问题的结构含有向量的基本特征,如果能构建向量模型,利用向量不等式:,可以发现最值问题的“神奇”解题策略.

    4. 已知,则的最小值为        

    分析:从向量的角度研究分析本题,条件可以视作两向量的数量积,而可以视作某个向量的模的平方,联想向量不等式.构建向量模型,别开蹊径,往往可以发现最值问题的另一遍天空,但要注意验证等号是否成立.

      这样,循着最值问题的模型化解题这条主线,借助一些已有的数学模型(函数、不等式、三角函数、向量),降低了问题的思维难度,增强了对问题的理解水平,提升了问题等价转化的能力.

    总之,微专题教学在知识的整合和优化上有得天独厚的优势,教师必须系统地把握教材,理解学生,注重联系,养成良好的教学思维习惯,更加高效地教学.微专题在教学过程中有效地避免了题海式训练,注重了数学思想的学习感悟,弥补了传统教学的不足,发挥了学生主体作用.由此,合理设定微专题,恰当地选择学习策略, 能高效地引领学生进行高效率的学习,长期以往,必将取得良好的长期效益.

    (本文发表于全国中文核心期刊《教学月刊》2016年第9期,2017年1月被人大复印资料全文转载)