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  • 中学数学核心内容“思维断档处”的教学解构与建构
    文章来源:admin  点击数:22  时间:2017-09-11 15:07:40

    中学数学核心内容“思维断档处”的教学解构与建构

    江苏省溧水高级中学     徐茂炳     211200

    摘要  理解学生、理解数学、理解教学是贯穿本文的一条主线。本文所阐述的中学数学核心内容“思维断档处”的教学解构和建构是通向这三个理解的一把钥匙。笔者通过自己数十年的课堂改革和教学实践,从中学数学核心内容“思维断档处”出发,进行内容解构,从学生的实际出发,寻求连结断档节点的问题串,从数学内容和学生实际出发,进行教学建构,从而在标准、教材和课堂之间架起一座“桥梁”。

    关键词  思维断档处    教学解构和建构    问题串    

    要全面实现数学课程的育人价值,在教学中应突显数学本质,强化核心内容(特别是核心概念)的教学。人民教育出版社章建跃博士指出,数学教育要着力于“三个理解”:理解数学、理解学生、理解教学。理解数学的首要任务是理解数学概念,特别是支撑数学学科体系的核心概念及其组成的结构体系;理解学生就要对数学学习任务进行认知分析,在明确新内容与学生已有认知结构的关系基础上,得出促进学生概念建构的途径;理解教学是在理解数学和理解学生的基础上,根据数学内容的特点,以及学生的认知规律组织教学。为了达到这“三个理解”,一个行之有效的方法就是对中学数学核心内容进行教学解构和建构。

    中学数学核心内容不仅要解构还要建构。好比研究半导体收音机,先要将其拆开,再研究各零部件,最后还要装回去。“拆开并研究零部件”可以理解为解构,“装回去”可以理解为建构。数学内容不是孤立存在,而是相辅相成,组成一个网络,从整体上把握概念,并非要关注概念网中所有的元素,而是要关注那些在结构上起关键作用的节点。数学概念、公式、定理等构成了网络中的节点。有的节点与其他节点联系不够紧密,甚至会出现断档,这是学习的思维断档处,也是学生容易出错的地方以及教学难点所在。如果能准确把握概念网中不连续的节点,就抓住了教学的难点;相反,如果对这一点把握不到位,教学难点的确定就会出现偏差。因此理解学生,应结合学生的数学现实,估计思维可能出现的断档。要设计教学环节,连续思维断档处,使我们的教学显得自然。关键点、不连续节点的突破,是核心内容解构的关键所在。

    本文按照现行中学数学的结构体系,对函数的概念、任意角三角函数、直线与平面垂直的判定、直线的斜率、随机变量等核心内容,结合自己的教学实践,研究教材,对核心内容“思维断档处”进行教学解构和建构。

    一.核心内容 “思维断档处”的解构与建构——函数的概念

    函数概念学习的思维断档处有两处:一是函数是否要有解析式;二是对抽象符号的理解;

    在初中,利用运动的观点,从变量角度给出函数的概念,学生接触到的函数都有明确的解析式,如等。但有解析式中找不到对应关系或者没有解析式的两个变量也能算作函数吗?这是学习函数的一个思维断档处,也是学习函数的障碍所在。

    例1:下列是否表示函数

    (1)学生的学号与考试成绩

    高一某次检测某班第一小组9名学生成绩单

    学号

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    成绩

    86

    78

    87

    73

    72

    91

    58

    67

    73

                                        图1

    (2)股票分时图

                                         图2

    这些是否是函数?绝大多数的高一学生无从判断,因为这显然与初中的“变量说”的定义不太吻合。教学时就要引导学生分析:它们研究的是哪两个集合?相应的对应关系是什么?让学生知道解析法、列表法和图像法都是用来表示函数关系的,而且不是所有的函数都必须有解析表达式,也不是每一个函数都可以画出它的图像。

    对抽象符号的理解是学习函数的另一个思维断档处,原因有二:其一,初中接触的函数和函数表达式都很具体,而符号很抽象,可表示任何函数;其二,符号中到底指什么?学生很难弄清楚。在教学时,应通过具体函数让学生理解抽象的,比如引导学生思考:

    问题1:函数所表示的对应关系是什么?

    问题2:函数所表示的对应关系是什么?

    问题3:图1和图2表示的对应关系分别是什么?

    是函数function的第一个字母,它是“功能”的意思,它是把集合A中变为集合B中的。让学生明白,是集合B中的一个数,是与集合A中的对应的那个数。当取具体数字时,也是一个具体的数。

    二.核心内容 “思维断档处”的解构与建构——任意角的三角函数

    学生在初中阶段学习过锐角三角函数,其研究范围是锐角;其研究方法是几何的,没有坐标系的参与;其研究目的是为解直角三角形服务。从锐角三角函数到任意角三角函数的学习,它们之间有一个跳跃,是不连续的,这是“任意角三角函数”学习的第一个思维断档处,也是教学的难点所在。因此教学过程中要明确研究范围的变化,并揭示由此带来的新问题;借助单位圆在坐标系中进行研究,要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中,帮助学生借助单位圆重新认识锐角三角函数。

    另外,将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上,是“任意角的三角函数”学习的另一个思维断档,也是难点所在,原因是学生可能会认为这一特殊点不具有任意性。针对这一问题,应引导学生利用相似三角形的知识来认识。对于一个确定的角,其三角函数值也就唯一确定了,不会随终边上所取点的位置的改变而改变。

    在教学上,我们可以从三个方面来连接“从锐角三角函数到任意角三角函数”这一思维断档处:一是借助“坐标”,将直角三角形与直角坐标系建立联系;二是利用“终边”,在终边上任意取点;三是通过“化简”,用单位圆来定义任意角三角函数。可以通过下列问题链来达成:

    M

    O

    P

    问题1:在初中,我们已经学过锐角三角函数。如图3,在中,是直角,那么根据锐角三角函数的定义,的正弦、余弦和正切分别是什么?

    问题2:在上节教材中,将锐角的概念推广到任意角时,我们是把角放在哪里进行研究的?(引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数)

    问题3:如图4,在平面直角坐标系中,如何定义任意角的三角函数呢?

    (在角的终边上任意画一点,则

    问题4:有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点?

    (如图5,由相似三角形可知P点位置不影响三角函数值,所以取,用单位圆定义)

    在三角函数学习之前,我们已经学习了函数,认识一个函数,关键是认识函数的三要素。在任意角的三角函数学习过程中也应该明确其三要素。比如,正弦函数,自变量是角(),它的三要素是什么呢?由于要将角转化为坐标的比值,加之对弧度比较陌生,可能成为又一个思维断档处。这需要教师的引导,同时也需要时间适应。

    三.核心内容 “思维断档处”的解构与建构——直线与平面垂直判定定理

    学习直线与平面垂直判定定理的思维断档处有两点:

    直线与平面垂直的定义是该定理的基础,实际教学常常安排在同一节课学习。线面垂直的定义比较抽象,平面内看不到直线,要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难,况且所有直线也没有办法穷尽。这就形成了第一个思维断档处,也是第一个学习难点。在教学时,通过对具体实例观察思考,感知直线与平面垂直的本质内涵。比如,借助“立竿见影”问题,引导学生思考:

    问题1:阳光下,一条旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少度呢?

    问题2:旗杆所在的直线与影子所在的直线的位置关系是相互垂直的。那么,随着太阳的移动,影子也会发生移动,如图6,在这个过程中,旗杆所在的直线与影子所在的直线位置关系是否会发生变化?

    问题3:旗杆AB所在的直线与地面上任意一条过点B的直线始终垂直,平面上不过点B的直线是否与旗杆AB也垂直呢?

    在直线与平面垂直的判定定理中,学生对为什么要且只要两条相交直线的理解有一定的困难,因为定义中“任意一条直线”指的是“所有直线”,这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍。这是本节课第二个思维断档处。为了连接思维断档、突破难点,教学时可以设计下列问题链引导学生思考。

    问题4:(1)直线与平面内的一条直线垂直,能判断这条直线与这个平面垂直吗?

    (2)直线与平面内的两条直线垂直,能判断这条直线与这个平面垂直吗?

    (3)直线与平面内的一万条直线垂直,能判断这条直线与这个平面垂直吗?

    (4)直线与平面内的无数条直线垂直,能判断这条直线与这个平面垂直吗?

    (5)要想让直线与平面垂直,这条直线至少要与平面内的几条直线垂直?

    (6)要想让直线和平面垂直,这条直线要与平面内的两条什么样的线垂直?

    四.核心内容 “思维断档处”的解构与建构——直线的斜率

    直线的斜率概念学习的思维断档处有两处:一是要用斜率来刻画直线的原因;二是倾斜角和斜率的关系。

    我们知道,两点能够确定一条直线。既然两点能够确定一条直线,为什么还要研究确定直线的几何要素?在平面几何中,“两点确定一条直线”是没有“参照系”的,如何使学生在这一知识的基础上,顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和斜率确定一条直线,是比较困难的。事实上,解析几何的研究对象是几何图形,研究几何图形就要寻求确定图形的几何要素。用坐标表示斜率公式就能体现直线倾斜角的优越性,而且斜率在研究直线平行与垂直方面的优势、刻画方程的作用等,需要在学习中不断体会。

    让学生认识到斜率与倾斜角的对应关系。倾斜角与斜率的关系中有几个难点:一是所有的直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率;二是并非倾斜角越大,斜率越大。产生这两个难点的原因在于:一是学生缺乏对倾斜角范围的认识;二是分类讨论的思想意识淡薄;三是由于学生还没有系统学习三角函数,由式子联系到函数及其图像的能力不足(按照课程标准,直线的斜率安排在必修2,而三角函数正切安排在必修4)。因此,在教学中有必要分步设置台阶,通过问题让学生思考讨论,以突破难点。

    在具体的教学中,可以设计下面的问题链引导学生思考。

    问题1:日常生活中我们除了用倾斜角,还经常用坡度来描述倾斜程度,我们是如何刻画坡度的?

    用坡度表示斜坡的倾斜程度,

    问题2:如果将斜坡抽象为一条直线,它关于水平面的倾斜角记为,这时又如何刻画呢?

    (类比坡度可以引进一个量:直线倾斜角的正切值,数学上称之为直线的斜率(Slope)。“率”是指两个相关数的比值,顾名思义,“斜率”是指反映直线倾斜程度的一个比值。角是几何图形,而斜率是一个数量。)

    问题3:直线的倾斜角,直线的倾斜角是,写出两条直线的斜率;再选取一些数据如倾斜角为等,计算相应直线的斜率;并分析直线的倾斜角不同时,直线的斜率取值是否也不同,在此基础上总结斜率的意义。

    问题4:若已知点,试求直线AB,AC的倾斜角和斜率。

    问题5:给定两点的坐标,求出直线的斜率。

    (解决这个问题需要分类求解,首先是对特殊直线,与x轴垂直或平行(重合)的直线进行分析求解。对于其他直线分类的依据是,两点在直线上位置以及直线倾斜角是锐角还是钝角,如图8,分类求解,得到经过两点的直线的斜率公式。)

    问题6:上述公式的适用范围是什么?与所取的点的坐标是否有关,与所取点的先后顺序是否有关?

    (辨析公式)

    直线的斜率的学习贯穿整个高中数学课程,直线的斜率是基础而且重要的内容,这也说明斜率的学习不是也不可能一步到位的,而是螺旋上升的。

    高中阶段斜率学习时间表(以苏教版教材为例)

    时段

    内容

    对理解斜率的影响和作用

    必修1

    一次函数

    从函数图像的角度认知直线,以及直线的斜率

    几种不同增长的函数模型

    理解斜率刻画函数的增减快慢

    必修2

    倾斜角

    倾斜角和斜率都是刻画直线的倾斜程度的,理解倾斜角与斜率的关系

    斜率

    理解斜率的定义和两种数学表达公式

    直线的点斜式方程

    点斜式方程的建立既是斜率定义的再现,也体现了解析法的核心思想坐标法

    直线的斜截式方程

    体会斜率刻画直线倾斜程度,理解斜率刻画直线的作用

    直线的两点式方程

    理解斜率刻画直线的作用

    直线的一般式方程

    理解斜率在方程中的代数表达

    直线的位置关系

    (平行、垂直)

    斜率相等,两直线平行;斜率互为负倒数,两直线垂直,理解斜率刻画直线位置关系的作用

    圆与直线的位置关系

    在直线的应用中理解斜率的作用和意义

    必修3

    线性回归

    类比理解直线的斜率

    必修4

    正切函数

    斜率是倾斜角的正切函数,进一步(包含从函数定义域、值域、图形与性质等方面)理解斜率与倾斜角的关系

    向量

    理解直线的方向向量与斜率的关系(链接)

    必修5

    线性规划

    进一步理解斜率刻画直线的倾斜程度

    选修

    圆锥曲线

    进一步在直线的应用中理解斜率的作用和意义

    选修

    导数

    理解导数与切线斜率的关系,导数的角度进一步理解直线的斜率

    五.核心内容 “思维断档处”的解构与建构——随机变量

    随机变量这个概念其实早已存在于学生的意识之中,而且在不少场合都已不自觉地“实际使用”,只是没有明朗化。实际上,把所有试验结果都数字化,要让学生自己想出来也是十分困难的(尽管已经在不自觉地使用)。因为,这要求对数学本质有很好的认识才行。所以,以数量化的不自觉到自觉地使用,是学习随机变量的一个思维断档处。教学时,应通过具体的例子帮助学生建立数量化意识,建立随机变量的概念。如抛掷一枚硬币等试验,其结果不具有数量性质,怎么让学生自然地想到用数来表示其试验结果,并且所用的数又尽量简单,便于研究。可以设计这样的问题链揭示随机变量的定义。

    问题1:抛掷一枚骰子,可能出现的结果可以用哪些数字表示?

    问题2:如果用字母表示数,比如用X表示这些数,则X的取值是多少?

    (很明显,X是1,2,3,4,5,6这些数中的某一个。)

    问题3:如何理解字母X的特点?

    (X是一个变量,它与某个试验结果相对应。它具有随机性,因为在一次试验之前不能确定它的取值。)

    通过上述三个问题,就完成了随机变量概念的形式构建。当然,要深入理解随机变量,还应该用函数的观点解释随机变量,以及研究(离散型)随机变量的分布列等。

    以函数的概念来类比理解随机变量,这是学习随机变量的另一个思维断档处。因为函数揭示的是变量间的一种确定性关系,而随机变量揭示的是变量间的一种不确定关系。研究随机变量并不是为了预测结果(当然也不可能预测到结果,比如彩票中奖号码),只能是了解随机现象的规律。特别是,掌握了随机现象的规律并不意味着改变了“结果的随机性”。这一点不可能在一节课解决,只能在长期学习中慢慢体会概率统计的不确定思想。

        当然,核心知识“思维断档处”还包括很多方面,比如初高中衔接问题,初中教材删减的内容和增加的内容变化。有时课后反思时,我们会发现课堂教学某个环节“不自然”,其实往往就是我们课前没有很好地关注知识“思维断档处”,教学中强加于学生,对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利的影响。解构是为了更好地理解概念、理解教学;寻找学习支撑是为了理解学生;还原与综合即为建构,是为了理解教学。这说明概念教学必须以学生的身心发展规律为依据,从学生的数学认知规律出发,选择教学内容,安排教学活动。教学中多关注教材的“思维断档处”可以使我们的课堂更顺畅,学生理解更自然,和从而更有效地进行教学解构和建构,在标准、教材和课堂之间架起一座“桥梁”。

    参考文献

    [1]曹才翰,章建跃.  中学数学教学概论(第2版)[M].北京:北京师范大学出版社,2008.

    [2]王尚志.高中数学课程中的函数[J].中学数学教学参考,2007(10)

    [3]章建跃.为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数[J].数学通报,2007(1)

    [4]陶维林.直线与平面垂直的判定的教学实践与反思[J].中学数学教学参考,2007(8)

    [5] 李善良.论中小学数学教材编写的基本原则[J].数学教育学报,2007(1)

    作者简介:徐茂炳,1984年生,中学高级教师,南京市第七届优秀青年教师。